Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Giải phương trình số nguyên Các dạng bài tập khó SGK Toán 8, Toán 9. Lời giải số nguyên thường thấy trong các đề thi trắc nghiệm, đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 môn toán.

Giải phương trình số nguyên Gồm 87 trang với nội dung tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập tìm nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với tất cả học sinh có học lực từ trung bình, khá đến khá. Giúp học sinh củng cố, nắm chắc kiến ​​thức cơ bản kết hợp với thực hành vận dụng cơ bản. Các em cũng có thể tham khảo thêm tài liệu khác: Giải Phương trình bậc hai có tham số Chuyên đề, Bài tập và Ứng dụng của Quan hệ Vi-et.

1. Giải phương trình căn bậc hai số nguyên.

Giải phương trình f (x, y, z, …) = 0 chứa ẩn số x, y, z, … Tìm tất cả các nghiệm nguyên
Tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, …) đều thỏa mãn phương trình này.

2. Một số nhận xét về giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải một phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất như chia hết, đồng dư, chẵn lẻ, … để tìm ra đặc điểm riêng của ẩn số và các biểu thức có trong phương trình, đơn giản hóa phương trình về dạng đã biết, cách giải nó, hoặc Phương trình đơn giản hơn. Cách phổ biến nhất để giải phương trình số nguyên là:

  • phương pháp chia hết
  • Hãy suy nghĩ về cách cân bằng cả hai bên
  • phương pháp với bất đẳng thức
  • Các phương pháp sử dụng thuộc tính hình vuông hoàn hảo
  • Phương pháp nghịch đảo vô hạn, nguyên tắc giới hạn

3. Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.

Đầu tiên là phương pháp phân chia

hình một: Nhận biết khả năng phân tách ẩn

Câu hỏi 1Giải phương trình 3 x + 17 y = 159 (1)

hướng dẫn giải pháp

Gọi x, y là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức (1) Ta thấy rằng cả 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên 17 và vPoints 3 Mũi tên phải và vPoints 3 (Vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

nơi mathrm {y} = 3 mathrm {t} (mathrm {t} trong mathrm {Z}) Thay thế vào phương trình chúng ta nhận được 3 mathrm {x} +17.3 mathrm {t} = 159 mũi tên trái và phải mathrm {x} +17 mathrm {t} = 53.

vì thế: left {begin {array} {c} mathrm {x} = 53-17 mathrm {t} \ mathrm {y} = 3 mathrm {t} end {array} (mathrm {t} in mathrm {Z}) sang phải.Thử lại, chúng tôi thấy rằng phương trình đã cho thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53-17 t, 3 t), với t là số nguyên bất kỳ.

Câu hỏi 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x + 13 y = 156 (1).

hướng dẫn giải pháp

– Cách 1: Ta có 13y: 13 và 156: 13 như thế này 2xvdots13 mũi tên phải xvdots13 (vì (2,3) = 1).

Đặt x = 13k (k trong z) thay vào (1) ta được: y = -2 k + 12

Vậy nghiệm ban đầu của phương trình là:left {begin {array} {l} x = 13 k \ y = -2 k + 12 end {array} (k in Z) right ..

– Cách 2: Tắt (1) Mũi tên phải x = frac {156-13 y} {2} = 78-frac {13 y} {2},

đến nơi x in Z Rightarrow frac {13 y} {2} in Z mà (13,2) = 1 Rightarrow y vdots 2 Đặt y = 2 t (t in Z) Rightarrow x = 78-13 t

Vậy nghiệm ban đầu của phương trình là: left {start {array} {l} x = 78-13 t \ y = -2 go {array} quad (t in Z) right ..

Gợi ý: Phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số nguyên.

* Sự hòa tan:

– Cách 1: Xem xét khả năng chia nhỏ của tủ quần áo.

– Cách 2: Ẩn số nguyên tố và dùng phép chia hết để tìm điều kiện để phân số trở thành số nguyên.

câu hỏi 3 Giải Ta có nghiệm nguyên 23 x + 53 y = 109.

hướng dẫn giải pháp

Chúng ta có x = frac {109-53y} {23} = frac {23 (4-2y) + 17-7y} {23} = 4-2y + frac {17-7y} {23}

Chúng ta cần sắp xếp lại các phân số hơn nữa phân số {17-7 toán {y}} {23} Hệ số của biến y là 1.

Phân tích: Chúng tôi cộng hoặc trừ các bội số thích hợp của 23 từ tử số

frac {17-7 mathrm {y}} {23} = frac {17-7 mathrm {y} + 46-46} {23} = frac {7 (9-mathrm {y}) - 46} {23} = -2 + frac {7 (9-mathrm {y})} {23}

từ giờ trở đi x = 2-2 y + frac {7 (9-y)} {23}đến nơi x in Z Rightarrow frac {9-y} {23} in Z, make (7,23) = 1.

nơi 9-mathrm {y} = 23 mathrm {t} (mathrm {t} trong mathrm {Z}) mathrm mũi tên phải {y} = 9-23 mathrm {t}

Vậy nghiệm ban đầu của phương trình là: left {begin {array} {l} x = 9-23 t \ y = 53 t-16end {array} (t in Z) right ..

câu hỏi 4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x + 18 y = 120

hướng dẫn giải pháp

chúng tôi thấy 11 x vPoints 6 Mũi tên phải x vPoints 6 Lộ trình x = 6k (k trong z) thay vì đơn giản hóa (1), ta được: 11 k + 3 y = 20

Ký hiệu lớp ẩn có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (y) so với k, chúng ta nhận được: y = frac {20-11k} {3}

Các giá trị số nguyên phân tách biểu thức này: mathrm {y} = 7-4 mathrm {k} + frac {mathrm {k} -1} {3}

Đặt lại về mặc định: frac {mathrm {k} -1} {3} = mathrm {t} (mathrm {t} trong mathrm {Z}) mũi tên phải mathrm {k} = 3 mathrm {t} +1.

vì thế: mathrm {y} = 7-4 (3 mathrm {t} +1) + mathrm {t} = 3-11 mathrm {t}; quad math {x} = 6 math {k} = 6 (3 math {t} +1) = 18 toán {t} +6

Thay công thức trên thành công thức (1), thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (18 t + 6; 3-11 t) trong z

Chú ý: a) Nếu bài toán yêu cầu nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì điều kiện sau khi tìm được nghiệm tổng quát có thể giải được:

left {begin {array} {l} 18 mathrm {t} +6> 0 \ 3-11 mathrm {t}> 0 end {array} Leftrightarrow-frac {1} {3}<frac{3 }{11}對。

Vậy t = 0 vì t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y) = (6,3).

Nếu tìm được nghiệm nguyên dương của (1), ta cũng có thể giải như sau: 11 x + 18 y = 120

Làm Mathrm {y} geq 1 nên 11 mathrm {x} leq 120-18.1 = 102.

Vì x là số nguyên nên Toán {x} cột Q 9. Cách khác Mathrm {x} điểm ảo 6 x là số dương nên x = 6 Toán học mũi tên phải {y} = 3

câu hỏi 5 Tìm một nghiệm nguyên dương của một phương trình: 6 toán {x} ^ {2} +5 toán {y} ^ {2} = 74

hướng dẫn giải pháp

Chúng ta có:6 mathrm {x} ^ {2} +5 mathrm {y} ^ {2} = 74 Leftrightarrow 6left (mathrm {x} ^ {2} -4right) = 5left (10-mathrm {y} ^ {2} right) (2)

Xuất phát từ (2) 6 trái (toán {x} ^ {2} -4 phải): 5Cách khác (6,5) = 1 Rightarrowleft (mathrm {x} ^ {2} -4right) vdots 5 Rightarrow mathrm {x} ^ {2} = 5 mathrm {t} +4 (mathrm {t} trong mathrm {N})

thay thế Toán học {x} ^ {2} -4 = 5 Toán học {t} Trong (2) chúng ta có: 30 mathrm {t} = 5left (10-mathrm {y} ^ {2} right) mũi tên trái-phải mathrm {y} ^ {2} = 10-6 mathrm {t}

Hết:t {0; Đầu tiên}

t = 0, không đáp ứng yêu cầu bài toán.

Nếu t = 1, ta có: left {begin {array} {l} x ^ {2} = 9 \ y ^ {2} = 4end {array} Leftrightarrowleft {begin {array} {l} x = pm 3 \ y = pm 2end {array} right. Rẽ phải..

Mặt khác, x và y là các số nguyên dương nên x = 3, y = 2.

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3,2).

Dạng 2: Phương thức trả về phương trình chia

* Cơ bản về phương pháp luận:

Chúng tôi đang cố gắng biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình trong đó một vế là tích của các biểu thức có giá trị nguyên và vế phải là hằng số nguyên.

Trên thực tế, chuyển đổi phương trình thành dạng: mathrm {A} (mathrm {x}; mathrm {y}) cdot mathrm {B} (mathrm {x}; mathrm {y}) = mathrm {c} trong đó mathrm {A} (mathrm {x}; mathrm {y }), mathrm {B} (mathrm {x}; mathrm {y})

Loại 3: Phương thức chia một giá trị nguyên.

* Cơ sở phương pháp luận: Đối với nhiều bài toán được giải bằng số nguyên, trong đó chúng ta chia phương trình ban đầu thành các phần nguyên để đánh giá và giải dễ dàng hơn, hầu hết các bài toán sử dụng cách tiếp cận này có xu hướng vẽ một ẩn số (bậc nhất). Ẩn theo phần còn lại.

Câu hỏi 1. Tìm nghiệm nguyên dương của: xy-2y-3y + 1 = 0

hướng dẫn giải pháp

Chúng ta có x y-2 y-3 y + 1 = 0 mũi tên phải y (x-3) = 2 x-1.

Vậy ta thấy x = 3 không phải là nghiệm x neq 3 vì thế: y = frak {2 x-1} {x-3}

tách gãy Phân số {2 x-1} {x-3} giá trị số nguyên:

y = frac {2 x-1} {x-3} = frac {2 (x-3) +5} {x-3} = 2 + frac {5} {x-3}

Vì y là một số nguyên, Phân số {5} {x-3} cũng là một số nguyên, do đó (x-3) chia 5.

+) x-3 = 1 thì x = 4, y = 2 + 5 = 7

+) x-3 = -1 thì x = 2, y = 2-5 = -3 (hơi)

+) x-3 = 5 thì x = 8, y = 2 + 1 = 3

+) x-3 = -5 thì x = -2 (phần nào)

Vậy nghiệm là (x, y) (4,7), (8,3).

Câu hỏi 2 Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:Toán {x} ^ {2} + Toán {xy} -2Math {y} -Math {x} -5 = 0

hướng dẫn giải pháp

Lưu ý: Trong phương trình này, ẩn mathrm {y} là bậc nhất, vì vậy chúng ta có thể vẽ biểu đồ y theo x

Chúng ta có: x ^ {2} + x y-2 yx-5 = 0 mũi tên trái-phải y (x-2) = - x ^ {2} + x + 5 tứ giác

Khi đó đối với x = 2:

Mũi tên trái và phải 0 = 3

(không hợp lý)

…………………… Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm các vấn đề về số nguyên

Thông tin thêm

Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 môn Toán.
Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tóm tắt đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Giải phương trình f(x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn x, y, z, … với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:
Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)
Hướng dẫn giải
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên  (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).
Đặt thay vào phương trình ta được
Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).
Hướng dẫn giải
– Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên  ( vì (2,3)=1).
Đặt x=13 k() thay vào (1) ta được: y=-2 k+12
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
– Phương pháp 2: Từ (1)
Để
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.
* Phương pháp giải:
– Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.
– Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1 .
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để
Đặt
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120
Hướng dẫn giải
Ta thấy suy ra x=6 k() thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt:
Do đó:
Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với
Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).
Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120
Do
Do x nguyên nên . Mặt khác và x nguyên dương nên x=6
Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Từ (2) suy ra , mặt khác
Thay vào (2) ta có:
Suy ra:
Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t=1 ta có: .
Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp:
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta thấy x=3 không là nghiệm nên do đó:
Tách ra ở phân thức  các giá trị nguyên:

Do y là số nguyên nên  cũng là số nguyên, do đó (x-3) là ước của 5 .
+) x-3=1 thì x=4, y=2+5=7
+) x-3=-1 thì x=2, y=2-5=-3 (loại)
+) x-3=5 thì x=8, y=2+1=3
+) x-3=-5 thì x=-2 (loại)
Vậy nghiệm (x, y) là (4,7),(8,3).
Bài toán 2 . Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhận xét: trong phương trình này ẩn mathrm{y} có bậc nhất nên rút y theo x
Ta có:
Với x=2 thì: (*)  (vô lý)
……………………
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 môn Toán.
Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tóm tắt đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Giải phương trình f(x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn x, y, z, … với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:
Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)
Hướng dẫn giải
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên  (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).
Đặt thay vào phương trình ta được
Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).
Hướng dẫn giải
– Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên  ( vì (2,3)=1).
Đặt x=13 k() thay vào (1) ta được: y=-2 k+12
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
– Phương pháp 2: Từ (1)
Để
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.
* Phương pháp giải:
– Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.
– Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1 .
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để
Đặt
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120
Hướng dẫn giải
Ta thấy suy ra x=6 k() thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt:
Do đó:
Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với
Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).
Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120
Do
Do x nguyên nên . Mặt khác và x nguyên dương nên x=6
Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Từ (2) suy ra , mặt khác
Thay vào (2) ta có:
Suy ra:
Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t=1 ta có: .
Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp:
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta thấy x=3 không là nghiệm nên do đó:
Tách ra ở phân thức  các giá trị nguyên:

Do y là số nguyên nên  cũng là số nguyên, do đó (x-3) là ước của 5 .
+) x-3=1 thì x=4, y=2+5=7
+) x-3=-1 thì x=2, y=2-5=-3 (loại)
+) x-3=5 thì x=8, y=2+1=3
+) x-3=-5 thì x=-2 (loại)
Vậy nghiệm (x, y) là (4,7),(8,3).
Bài toán 2 . Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhận xét: trong phương trình này ẩn mathrm{y} có bậc nhất nên rút y theo x
Ta có:
Với x=2 thì: (*)  (vô lý)
……………………
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 môn Toán.
Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tóm tắt đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Giải phương trình f(x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn x, y, z, … với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:
Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)
Hướng dẫn giải
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên  (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).
Đặt thay vào phương trình ta được
Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).
Hướng dẫn giải
– Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên  ( vì (2,3)=1).
Đặt x=13 k() thay vào (1) ta được: y=-2 k+12
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
– Phương pháp 2: Từ (1)
Để
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.
* Phương pháp giải:
– Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.
– Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1 .
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để
Đặt
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120
Hướng dẫn giải
Ta thấy suy ra x=6 k() thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt:
Do đó:
Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với
Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).
Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120
Do
Do x nguyên nên . Mặt khác và x nguyên dương nên x=6
Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Từ (2) suy ra , mặt khác
Thay vào (2) ta có:
Suy ra:
Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t=1 ta có: .
Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp:
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta thấy x=3 không là nghiệm nên do đó:
Tách ra ở phân thức  các giá trị nguyên:

Do y là số nguyên nên  cũng là số nguyên, do đó (x-3) là ước của 5 .
+) x-3=1 thì x=4, y=2+5=7
+) x-3=-1 thì x=2, y=2-5=-3 (loại)
+) x-3=5 thì x=8, y=2+1=3
+) x-3=-5 thì x=-2 (loại)
Vậy nghiệm (x, y) là (4,7),(8,3).
Bài toán 2 . Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhận xét: trong phương trình này ẩn mathrm{y} có bậc nhất nên rút y theo x
Ta có:
Với x=2 thì: (*)  (vô lý)
……………………
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 môn Toán.
Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tóm tắt đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Giải phương trình f(x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn x, y, z, … với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:
Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)
Hướng dẫn giải
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên  (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).
Đặt thay vào phương trình ta được
Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).
Hướng dẫn giải
– Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên  ( vì (2,3)=1).
Đặt x=13 k() thay vào (1) ta được: y=-2 k+12
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
– Phương pháp 2: Từ (1)
Để
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.
* Phương pháp giải:
– Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.
– Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1 .
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để
Đặt
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120
Hướng dẫn giải
Ta thấy suy ra x=6 k() thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt:
Do đó:
Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với
Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).
Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120
Do
Do x nguyên nên . Mặt khác và x nguyên dương nên x=6
Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Từ (2) suy ra , mặt khác
Thay vào (2) ta có:
Suy ra:
Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t=1 ta có: .
Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp:
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta thấy x=3 không là nghiệm nên do đó:
Tách ra ở phân thức  các giá trị nguyên:

Do y là số nguyên nên  cũng là số nguyên, do đó (x-3) là ước của 5 .
+) x-3=1 thì x=4, y=2+5=7
+) x-3=-1 thì x=2, y=2-5=-3 (loại)
+) x-3=5 thì x=8, y=2+1=3
+) x-3=-5 thì x=-2 (loại)
Vậy nghiệm (x, y) là (4,7),(8,3).
Bài toán 2 . Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhận xét: trong phương trình này ẩn mathrm{y} có bậc nhất nên rút y theo x
Ta có:
Với x=2 thì: (*)  (vô lý)
……………………
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên


#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên

Sen Ti

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button